Question

已知函数，.

（1）若曲线与在点处有相同的切线，求函数的极值；

（2）若，讨论函数的单调性.

Answer

（1）的极大值，极小值为；（2）时，的单调增区间为，单调减区间为；时，的单调增区间为，，单调减区间为；时，的单调增区间为，没有减区间；时，的单调增区间为，，单调减区间为.

【解析】

（1）对函数，分别求导，根据曲线与在点处有相同的切线，可知，解得，从而得到，求，判断导数的正负，求极值，即可.

（2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可.

（1），

，，

由题意知，∴，

∴

∴，

∴

∴或时，，时，，

∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

∴的极大值，极小值为.

（2）的定义域为，

，

当时，∵，∴.

∴时，，时，，

当时，的解集为，解集为，

当时，，当时取等号，

当时，解集为，解集为，

∴时，的单调增区间为，单调减区间为，

时，的单调增区间为，，单调减区间为，

时，的单调增区间为，没有减区间，

时，的单调增区间为，，单调减区间为.