Question

如图，在三棱锥中，平面平面，、均为等边三角形，为的中点，点在上.

（1）求证：平面平面；

（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结论；

（2）以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出向量和面的一个法向量，再求两向量夹角的余弦值，从而求得答案.

（1）因为、均为等边三角形，为的中点，

所以，.

又，所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面；

（2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，两两互相垂直.

故以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如下图所示：

不妨设，则，.

则点，，，，，.

则，，，

设平面的法向量为，则，

取，，，则，

，，，

，

则直线与平面所成角的正弦值为.