Question

已知函数，.

（1）若曲线与在点处有相同的切线，求函数的极值；

（2）若时，不等式在（为自然对数的底数，）上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）的极大值，极小值为；（2）.

【解析】

（1）利用导数的几何意义求得，再对函数求导，解导数不等式求得单调区间，从而求得函数的极值；

（2）设，定义域为，要使在上恒成立，只需在上恒成立；对分5种情况讨论，研究函数的最小值，从而求得的范围.

（1），，，，

由题意知，∴，

∴，∴，

∴，

∴或时，，时，，

∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

∴的极大值，极小值为.

（2）设，定义域为，

要使在上恒成立，只需在上恒成立，

因为，

由于，所以由，即，可得或，

①当，即，易知，令，

解得.不满足条件；

②当，即时，则必须，由①知，不满足条件；

③当，即时，则必须，解得.不满足条件.

④当，即时，则必须，

由，解得，

设，则，

可知在区间上单调递增，所以，所以不满足条件；

⑤当，即时，则必须，解得，而，

所以.

综上所述的取值范围是.