Question

设函数的定义域为， , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为（   ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．

∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，

∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，

∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），

∴f（x）是以2为周期的函数，

∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，

又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，

∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．

作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．

又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，

设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．

则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．

∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，

∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．

故选A．