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已知定义域为的函数是奇函数. (1) 求实数的值; (2) 判断并用定义证明该函...

已知定义域为的函数是奇函数.

(1) 求实数的值;

(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性;

(3) 若方程内有解,求实数的取值范围.

 

(1)1;(2)见解析;(3)[-1,3). 【解析】 (1)根据解得,再利用奇偶性的定义验证,即可求得实数的值;(2)先对分离常数后,判断出为递减函数,再利用单调性的定义作差证明即可;(3)先用函数的奇函数性质,再用减函数性质变形,然后分离参数可得,在内有解,令,只要. (1)依题意得,,故,此时, 对任意均有, 所以是奇函数,所以. (2)在上是减函数,证明如下:任取,则 所以该函数在定义域上是减函数. (3)由函数为奇函数知, , 又函数是单调递减函数,从而, 即方程在内有解, 令,只要, , 且,∴ ∴当时,原方程在内有解.
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