Question

若动点到定点与定直线的距离之和为4.

（1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；

（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由.

Answer

（1）；作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）设，由题意，分类讨论，可得点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；

（2）当或显然不存在符合题意的对称点，当时，注意到曲线关于轴对称，至少存在一对（关于轴对称的）对称点，再研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点即可.

【解析】
（1）设，由题意

①：当时，有，

化简得：

②：当时，有，

化简得：（二次函数）

综上所述：点的轨迹方程为（如图）：

（2）当或显然不存在符合题意的对称点，

当时，注意到曲线关于轴对称，至少存在一对（关于轴对称的）对称点.

下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点

设是轨迹上任意一点，

则，

它关于的对称点为，

由于点在轨迹上，

所以，

联立方程组（*）得

，

化简得

①当时，，此时方程组（*）有两解，

即增加有两组对称点.

②当时，，此时方程组（*）只有一组解，

即增加一组对称点.（注：对称点为，）

③

当时，，此时方程组（*）有两解为，，

没有增加新的对称点.

综上所述：记对称点的对数为.