Question

已知数列，为其前项的和，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当，时；

（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）或者.

【解析】

（1）利用递推关系，，，单独求，即可得出；

（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明；

（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出.

（1）【解析】
当时，

，

又，.

（2）证明：（法一）：，，

.

（法二）：数学归纳法：

①时，，，

②假设（，）时有，

当时，

，

是原式成立

由①②可知当，时.

（3）【解析】
，.

相加得：

，

，

即，两边同时乘以，

，

时，无解，

又当时；，

时，；

时，，

时，为偶数，

而为奇数，不符合

时，为奇数，

而为偶数，不符合.

综上所述或者.