Question

设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

并求出此定值．

Answer

(1) f(x)＝x＋；(2)证明见解析

【解析】

(1)解 f′(x)＝a－，

解得或

因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线

方程为y－＝[1－] (x－x0)．

令x＝1，得y＝， 切线与直线x＝1的交点为 (1,)；

令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为

|2x0－1－1|＝2.

所以，所围三角形的面积为定值2.