Question

已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求，，对参数分类讨论，求出的解的区间，即可得出结论；

（2）根据条件即求在恒成立的取值范围，求出

，即，分离参数，在恒成立，构造函数，只需，通过二次求导判断的正负，进而判断的单调性，求出；或，则至少有，，然后求，求出单调区间，进而求出，解不等式，即可得出结论.

（1）的定义域为，，

当时，在上恒成立，

所以在上递减；

当时，令，

当时，，当时，，

则在上递减，在上递增.

（2）

在恒成立，

所以，即

令，则有，

令，则有在上恒成立.

故在上为减函数，

所以在上为减函数，

则，故.

另解令，则至少有.

当时，则有，

令，开口向上，对称轴，

故在上为增函数，

所以在上为增函数，

则，故.