Question

已知函数，．

（1）试判断函数的单调性；

（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为．

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间，为此必须对分类讨论，先分类，，时，按和分类，在时按和分类，时，两根是负数，不在定义域内，而时，的两根一正一负，易得结论；

（2）由（1）只有时，在一个极大值点，因此题意要求，，其中．满足即，即，这样有．于是令，讨论的单调性得，所以等价于，解不等式可得结论。

（1）由题可得，函数的定义域为，

．

①当时，，所以函数在上单调递增．

②当时，令，即，即，．

当，即时，，

故，所以函数在上单调递增．

当，即时，方程的两个实根分别为，．

若，则，，

此时，所以函数在上单调递增；

若，则，，

此时当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可得，当时，函数在上单调递增，故函数无极值；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

此时函数有极大值，极大值为，其中．

又，所以，即，所以．

令，则，

所以函数在上单调递增．

又，所以当时，，所以等价于，

即当时，，即，

显然当时，，所以，即，解得，

故存在满足条件的实数，使函数的极值大于，此时实数的取值范围为．