Question

在三棱柱中，平面，，点、分别在棱、上，且，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证平面,只需证垂直于该面中的两条相交直线即可,通过三角形的相似，和线面垂直可证得，，从而可证得线面垂直；

(2) 要求出直线与平面所成角的正弦值，关键在于需求出点到平面的距离，运用三棱锥的等积法，可求得点到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明:如图, ∵平面，平面，∴，

又∵，∴，且，平面,平面,∴平面,

又∵点、分别在棱、上，且，，，∴，

∴平面,又∵平面,∴，

在矩形中，，∴，∴，

且，平面,平面,∴平面，

所以平面；

（2）设点到在平面的距离为，则有，而由（1）得平面,∴，而，，

由（1）可得平面,∴点到平面的距离为的长，

∴，而，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.