Question

如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，

又因为分别为和的中点，得.

（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，

由此可得，，又因为直线平面，所以平面

（Ⅱ），设为平面的法向量，则

，即，不妨设，可得，

设为平面的一个法向量，则，又，得

，不妨设，可得

因此有，于是，

所以二面角的正弦值为.

（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得

，整理得，

又因为，解得，

所以线段的长为.