Question

在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.

（1）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；

（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意设圆心坐标为，可得半径为，求出圆的方程，分别令、，可得出点、的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立；

（2）由，知，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；

（3）设，、，求得、的坐标，以及直线、的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合，得出，设直线的方程为，代入圆的方程，利用韦达定理，可得、之间的关系，即可得出所求的定点.

（1）由题意可设圆心为，则圆的半径为，

则圆的方程为，即.

令，得，得；令，得，得.

（定值）；

（2）由，知，所以，解得.

当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；

当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.

所以，所求圆的方程为；

（3）设，，，又知，，

所以，.

因为，所以.

将，代入上式，

整理得.①

设直线的方程为，代入，

整理得.

所以，.

代入①式，并整理得，

即，解得或.

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点

检验定点和、共线，不合题意，舍去.

故过定点.