Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD.

（1）求PA与平面PCD所成角的正弦值；

（2）棱PD上是否存在一点E，满足？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在，详见解析.

【解析】

（1）以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求出PA与平面PCD所成角的正弦值；

（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.

（1），平面ABCD，可以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，从而，，.

设平面PCD的法向量为，则，

，取，得，，

平面PCD的一个法向量，

设直线PA与平面PCD的夹角为，

则.

（2），则，

，，

若，则，此方程无解，

故在棱PD上不存在一点E，满足.