Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中点.

（Ⅰ）求证：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标.

（Ⅰ）求出平面SCD的法向量，根据空间向量数量积的计算公式，结合线面平行的判定定理证明即可；

（Ⅱ）利用空间向量夹角公式直接求解即可；

（Ⅲ）利用空间向量夹角公式求出的表达式，利用配方法求出的最大值.

以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.

（Ⅰ），，.

设平面SCD的法向量是，则，即

令，则，.于是.

，.

又平面SCD，平面SCD.

（Ⅱ）易知平面ASD的法向量为.设平面SCD与平面ASD所成的二面角为，

则，

二面角的余弦值.

（Ⅲ）易知：平面ASB的法向量为

设，则.

.

当，即时，.