Question

已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与x轴切于点，且直线经过线段的中点且垂直于线段，则双曲线C的方程为________________.

Answer

【解析】

设点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知，设三角形的内切圆与轴的切点为，、分别为内切圆与、的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知，由此得到，再利用直线经过线段的中点且垂直于线段，设，运用直线的斜率公式和中点在直线上，化简整理得，再利用双曲线的定义，得，进而得到双曲线方程.

点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知，若设三角形的内切圆与轴的切点为，、分别为内切圆与、的切点，

由同一点向圆引得两条切线相等知，且，

则有，

所以，即，

再设，，，则的中点坐标为，，

由直线经过线段的中点且垂直于线段，

所以有，，整理得，，即，

所以，，又，

所以，在双曲线中，，

故双曲线方程为.

故答案为：.