Question

如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面、E为的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点F，连结，，先证四边形为平行四边形，进而可得，进而可得平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）如图，取中点F，连结，.

因为E为中点，，所以，.

又因为，，所以，，

所以四边形为平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）取中点O，连结，.

因为为等边三角形，所以.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面.

因为，，

所以四边形为平行四边形.

因为，所以.

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，.

所以，，

设平面的一个法向量为，

则即令，则，

显然，平面的一个法向量为，

则即令，则，

所以.

由题知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.