Question

已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与x轴切于点，则a的值为______，若直线经过线段的中点且垂直于线段，则双曲线C的方程为________________.

Answer

2

【解析】

设点是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，，设三角形的内切圆心在轴上的投影为，分别为内切圆与的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知，由此得到△的内切圆的圆心横坐标．即为，根据条件△为直角三角形，有,则，所以在△中,可求解.

点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，可得，
若设三角形的内切圆心在横轴上的投影为，

该点也是内切圆与轴的切点．设分别为内切圆与的切点．

考虑到同一点向圆引的两条切线相等：
则有：

即，
所以内切圆的圆心横坐标为 ．
由题意可得，

又直线经过线段的中点且垂直于线段

设得中点为，则 ,

所以直线与平行，则 ，

则，根据双曲线的定义有：

则在直角三角形△中有：

解得：，所以

由勾股定理有，即

解得： ，所以

所以双曲线方程为：

故答案为：2 .