Question

如图,四棱锥中,平面,, .,,,是的中点.

(Ⅰ)证明:⊥平面;

(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;

(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.

Answer

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在，见解析

【解析】

（I）通过证明，证得平面.

（II）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.

（III）设出点的坐标，利用列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的点不存在.

(Ⅰ)证明:因为 平面,,

所以 平面.

又因为 平面,所以 . 在中,,是的中点,

所以 .

又因为 ,所以 平面.

(Ⅱ)解:因为 平面,

所以,.

又因为 ,

所以 如图建立空间直角坐标系.

则,,,,

,,

,.

设平面的法向量为.

则

即 令,则,,

于是.

因为平面,所以. 又,

所以平面.

又因为,

所以 取平面的法向量为.

所以 ,

即,解得.

又因为,所以.

(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:

证明:设.

当时,.

,.

由知,,,.这与矛盾.

所以,在线段上不存在点,使得.