Question

已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.

(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;

(Ⅱ)过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.

Answer

(Ⅰ) ，. (Ⅱ)存在，或.

【解析】

（I）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.

（II）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等（或者转化为），由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.

(Ⅰ)因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得,

所以

所以准线方程为.

(Ⅱ)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.

联立得 消去得.

由,解得. 所以且.

由韦达定理得,.

方法一:

直线的方程为,

又,所以,所以,

因为,所以直线与直线的斜率相等

又,所以.

整理得,即,

化简得,,即.

所以,整理得,

解得. 经检验,符合题意.

所以存在这样的直线,直线的方程为或

方法二:

因为,所以,所以.

整理得,即,

整理得.

解得,经检验,符合题意.

所以存在这样的直线,直线的方程为或.