Question

若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.

(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;

(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;

(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.

Answer

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ) .

【解析】

（I）利用等差数列的定义，证得等差数列为“和谐数列”.

（II）利用等差数列的定义，通过证明，证得数列从第项起为等差数列.

（III）对依次进行验证，当时，结合（II）的结论和等差数列前项和公式进行列式，求得的可能取值.

(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,

所以对任意两个正整数,有 ,

所以 .

所以 数列为“和谐数列”.

(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,

所以 当,时,只能成立, 不成立.

所以 ,即.

当,时,也只能成立,不成立.

所以 ,,,

即,

所以.

令,则数列满足.

所以,数列从第3项起为等差数列.

(Ⅲ)解:①若,则,与矛盾,不合题意.

②若,则,,但,不合题意

③若,则,,由,得,

此时数列为:,符合题意.

④若,设,

则.

所以,

即 .

因为,所以.

所以不合题意.

所以.

因为p为整数,所以为整数,所以.

综上所述,p的所有可能值为.