Question

已知函数.

（1）若对恒成立，求实数的值；

（2）若存在不相等的实数，，满足，证明：.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）令，则，

分和进行讨论可得a的值；

（2）因为，代入可得，因为，所以，令，

则.记，对求导可得证明.

（1）令，

则，

由题意，知对恒成立，等价.

当时，由知在上单调递增.

因为，所以不合题意；

当时，若，

则，若，则，

所以，在单调递减，在上单调递增.

所以

记，

则.

易知在单调递增，在单调递减，

所以，

即.

而，

所以，解得.

（2）因为，

所以.

因为，

所以

令，

则.

记，

则，所以在上单调递增.

又，由，

得，

所以，即.

另证：不妨设，因为，所以为增函数.

要证，即要证，即要证.

因为，

即要证.

记，

则.

所以，

从而，得证.