在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点为极点，以
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与
轴交于点
，与相交于
、
两点，求
的值.
已知函数
.
（1）若
对
恒成立，求实数
的值；
（2）若存在不相等的实数
，
，满足
，证明：
.
某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：
，
，
，…，
（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有
的把握认为“健身达人”与性别有关？
| 健身达人 | 非健身达人 | 总计 |
男 | 10 |
|
|
女 |
| 30 |
|
总计 |
|
|
|
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为
，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
已知椭圆
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若不过原点的直线
与椭圆交于
，
两点，求
面积的最大值.
如图，在直角三棱柱
中，
，
，
，
，
分别为
，
，
的中点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
在
中，已知
，
，
是
边上的一点，
，
.
（1）求
；
（2）求的面积.
