Question

已知点，是坐标轴上两点，动点满足直线与的斜率之积为（其中为常数，且）.记的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）过点斜率为的直线与曲线交于点，点在曲线上，且，若，求的取值范围.

Answer

（1），曲线表示去掉左右顶点，焦点在轴上的椭圆 （2）

【解析】

（1）直接设点，由斜率之积列式得轨迹方程，根据参数范围得曲线，注意范围．

（2）的方程为，与椭圆方程联立求出点坐标，同理可得点坐标，由得出的关系．由可得的范围．

解（1）设点，，，，整理即，得，因直线与的斜率存在，故

为所求轨迹方程；

因为，曲线表示去掉左右顶点，焦点在轴上的椭圆

（2）的方程为，联立并整理得解得或，

的方程为，同理可得，把带入得

因为，所因，，整理得

而，则，．

，，，，

，，得，，，得，解得.