Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)答案不唯一，见解析；(2)

【解析】

（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，即可得出结果；

（2）因为，由（1）得到函数在上单调递增，不妨设，则可化为，令，则为上的减函数，对求导，根据函数单调性，即可得出结果.

（1）∵依题意可知：函数的定义域为，

∴，

当时，在恒成立，所以在上单调递增.

当时，由得；由得；

综上可得当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；在上单调递增.

（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，

不妨设，则，

可化为，

设，则，

所以为上的减函数，

即在上恒成立，等价于在上恒成立，

设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）

所以．