Question

已知函数.

（1）证明：存在唯一零点；

（2）若时，，求的取值范围.

Answer

（1）证明解析（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，由，得，当时，，又，且当时， 单调递增，只需说明函数在部分存在大于零的函数值，即可说明函数存在唯一零点.

（2）设，再设，利用导数求出的最小值，可知最小值大于零，由，可得，再验证时恒成立即可.

（1），

由，得

当时，

当时，，单调递增

取满足且，

则

故存在唯一零点

（2）设

设，

则，令则

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

易得

由题知，，可得

当时，

设，

（仅当取等号）

则在递增，

所以，

可得

因此的范围是