Question

给定数列，记该数列前项中的最大项为，即，该数列后项中的最小项为，记，；

（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的，，；

（2）若是数列的前项和，且对任意，有，其中为实数，且，.

（ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（ⅱ）若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），，；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）由定义可分别求得时的取值，从而得到；

（2）（ⅰ）当时，根据，结合已知等式求得，进而得到，且；当时，利用可得到，结合通项可整理得到，从而结论得证；

（ⅱ）由（ⅰ）可结合等比数列通项公式求得；根据的定义和大小关系以及，可确定，从而得到，代入通项公式整理化简可得，解不等式求得结果即可.

（1）由题意得：，

，

，

（2）（ⅰ）当时，

，

当且时，

数列是以为首项，为公比的等比数列

（ⅱ）由（ⅰ）得：

，

且

对任意的恒成立

则，

即：

，解得：

的取值范围为