Question

已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线，与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

Answer

（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析

【解析】

（1）根据直线分圆分成长度相等的四段弧，得到，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

（2）根据直线与圆相交的位置关系，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可；

（3）根据椭圆内接正方形的关系，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可.

【解析】
（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，圆心到直线的距离为，∴，

同理，∴；

（2）由题知，直线，关于原点对称，因为圆的圆心为原点，

所以，故四边形为平行四边形．易知，点在对角线，上．

联立解得，由，得

，

所以，

于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为，，，．

当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，，因为，，，在椭圆上，

所以，，，．

由四边形为正方形，易知，，，直线、的方程为，，

正方形的面积．

当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，，

显然．设，，，，

联立得，所以，

代人，得，

同理可得，

因为为正方形，所以解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形

由为正方形知，

即

代入得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，，故

但，

由得，

∴即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．