Question

已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若恒成立，求的取值范围；

（3）已知，证明.

Answer

（1）当时，函数在区间单调递增，单调递减；

（2）；

（3）证明过程见解析

【解析】

（1）先求函数的定义域，再求导数，分别令和即可求出单调性；（2）分离变量得恒成立，转化为求的最大值，然后求导数判断的单调性即可求出的最大值，从而求得结果；（3）对两边取对数，化简变形可得，由（2）可知在上单调递减，结合条件即可证明.

由题意可知，函数的定义域为：且.

（1）当时，，

若，则 ； 若，则 ，

所以函数在区间单调递增，单调递减.

（2）若恒成立，则恒成立，

又因为，所以分离变量得恒成立，

设，则，所以，

当时，；当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取最大值，，所以.

（3）欲证，两边取对数，只需证明，

只需证明，即只需证明，

由（2）可知在上单调递减，且，

所以，命题得证.