Question

如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且

（1）证明：平面；

（2）求楔面与侧面所成二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）做辅助线连接交于,连接,.根据平面,得到平面平面,又平面平面,则平面平面,

利用勾股定理计算出,再根据,,,得,,则可证得平面.

（2）法一：向量法：建立如图所示的空间直角坐标系,列出各点的坐标求出向量,.求出两个平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面与侧面所成二面角的余弦值.

法二：几何法：取的中点,连接,.即为楔面与侧面所成二面角的平面角.求出、、各边长度,即可求出,则得到楔面与侧面所成二面角的余弦值.

【解析】
（1）证明：如图,连接交于,连接,.

则是的中点,.

因为平面,所以平面平面,

又平面平面,

所以平面平面,

根据题意,四边形和是全等的直角梯形,

三角形和是全等的等腰直角三角形,

所以,.

在直角三角形中,,

所以,,,

于是,,

所以,.

因为平面,,

所以平面.

（2）法一：向量法：以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,.

设平面的一个法向量为,

则,取,

平面的一个法向量为,

所以,

所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.

法二：几何法：如图,取的中点,连接,.

即为楔面与侧面所成二面角的平面角.

在直角三角形中,,,

所以,

所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.