Question

已知等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）若，数列满足关系式，求证：数列的通项公式为；

（3）设（2）中的数列的前n项和为，对任意的正整数n，恒成立，求实数p的取值范围.

Answer

（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由等差数列由通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；

（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；

（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论.

（1）设等差数列的公差为d，

由已知，有，

解得

所以，

即等差数列的通项公式为，.

（2）因为，

所以，当时，.

证法一（数学归纳法）：

①当时，，结论成立；

②假设当时结论成立，即，

那么当时，，

即时，结论也成立.

由①，②得，当时，成立.

证法二：当时，，

所以

将这个式子相加，得，

即.

当时，也满足上式.

所以数列的通项公式为.

（3）由（2），所以，

原不等式变为，即，

对任意恒成立，

为任意的正整数，

.

的取值范围是.