Question

已知数列和满足：，，，且对一切，均有.

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和；

（3）设（），记数列的前n项和为，问：是否存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析; （2） （3）存在，2或3

【解析】

(1)原式两边同时除以再根据等差数列定义证明即可.

(2)代入(1)中求得的数列的通项公式,再利用数列前项积与通项的方法求解即可.

(3)根据(2)中的方法求得关于的解析式,再将代入,再根据正整数,分情况讨论的取值,将的关系式看成函数进行单调性的分析即可.

(1)证明：由,,两边除以,得

,即,

所以,数列为等差数列,所以,

(2)当时,由(1),

当时有,

当时有,,两式相除有.

当时, 也成立.故,

(3)由题,同(2)有.

又

因为对一切,均有恒成立,

所以当时,.

若,则,,故,故不成立.

若,,

故,,,,.

且当时,. .故成立.

若,则,故,,

,.

又当时, ,故,故成立.

若,则,

令,.

故在上是增函数,又.所以.

故,故不成立.

综上所述, 的取值为2或3；