Question

已知函数，其中．

（1）当时，求证：函数是偶函数；

（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；

（2）根据与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程求出的值，再结合函数的单调性求解即可．

（1）当时，，定义域为，关于原点对称，

，

所以，函数为偶函数；

（2）函数与其反函数的单调性相同，

当时，函数为增函数，则函数在区间上为增函数，

当时，函数取得最小值，即，

即，，，

即，解得，

此时在区间上是增函数，

因此，函数在区间上的最大值为.