Question

如图所示，在正三棱柱中，点是的中点，点是的中点，所有的棱长都为.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由条件可证明平面，得，由此可证明平面，即可证明（2）利用三棱锥等体积法，即，分别计算两个棱锥的体积，即可求出点到平面的距离.

（1）在正三棱柱中，底面为正三角形，而点为的中点，所以.

又侧棱底面，平面，则.

而，所以平面，且平面，

从而.

正三棱柱所有棱长均相等，点是的中点，

所以，，，从而.

由，得.

又点，所以平面，从而.

（2）记点到平面的距离为，

则三棱锥的体积为.

由（1）证明过程可知，平面，且平面，从而.

由条件计算得，，，的面积为，从而.

在正三棱柱中，过点作的垂线交于点，

又侧棱底面，平面，则.

而，所以平面，

即是三棱锥的高，且，

.

而，所以，，

即点到平面的距离为.