Question

已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设图象在点处的切线与的图象相切，求的值；

（3）若函数存在两个极值点，，且，求的最大值．

Answer

（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）或（3）

【解析】

（1）先对求导，令导数大于0，求出在定义域内的单调递增区间，导数小于0，在定义域内求出函数的单调递减区间；

（2）由题意求出在处的切线方程，与函数联立得关于的二次方程，用判别式等于求出的值；

（3）求的导数，令，由题意得方程有两个不等的实数根，求出两根之和及两根之积，且求出函数的单调区间，求出的表达式用一个自变量表示，再构造函数，求导求出的最大值．

（1）的定义域为，，

由，有，由，有，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由（1）及题意，易得图象在点处的切线斜率为，

则该切线方程为，

联立，消去整理得：，

由解得或．

（3）∵，，，

设，

由（1）知函数的两个极值点，满足，

则，，

不妨设，则在上是减函数，，

∴

令，则，

又，即，解得，

∴，∴．

设，则，

∴在上为增函数，

∴，即，

∴的最大值为．