Question

如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点；

（1）若，求曲线的方程；

（2）对于（1）中的曲线，若过点作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求三角形的面积；

（3）如图，若直线（不一定过）平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上．

Answer

（1）和；（2）（3）证明见解析；．

【解析】

（1）利用待定系数法求解；（2）写出直线方程，与曲线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式求弦长与高，再求三角形的面积；（3）写出渐近线的方程与直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用中点坐标公式写出中点坐标，再验证中点在另外一条渐近线上.

试题解析：

（1）

则曲线的方程为和．

（2），曲线的渐近线

设，

（3）曲线的渐近线为

如图，设直线

则

又由数形结合知，

设点，

则，

，

，即点M在直线上．