Question

数列各项均不为0，前n项和为，，的前n项和为，且

（1）若数列共3项，求所有满足要求的数列；

（2）求证：是满足已知条件的一个数列；

（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列，并使得.

Answer

（1）；；；（2）证明见解析；

（3）

【解析】

（1）时，，；时，，；时，，，由此能求出符合要求的数列；

（2），即证明，用数学归纳法能证得结论；

（3）由已知得，从而，进而得到，由此能求出结果.

（1）当时，，，解得：或（舍）

当时，，，即，

解得：或，或（舍）

当时，，

当时，，解得：或，或（舍），

当时，，解得：或（舍）

符合要求的数列有：；；

（2），即证明

用数学归纳法证明：

①当时，，成立.

②假设时，成立，即成立

则时，

，也成立

由①②，对于，都有

是满足已知条件的一个数列

（3）…① …②

②①得：

…③

时，…④

③④得：

或，

构造：