Question

已知函数．

（1）求的单调增区间；

（2）若，存在，使得，且在区间上为单调函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，函数单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为和；

当时，函数的单调递增区间为和.

（2）

【解析】

（1）分类讨论的取值，当时；当时；当时，然后结合二次函数的图像以及图像的翻折变换即可求解.

（2）根据题意可得在上单调递增，且，从而可得有两个非正根即可.

（1）由

当时，，所以函数单调递增区间为，

当时，，

函数的对称轴为，所以函数的单调递增区间为和.

当时，，

函数的对称轴为，所以函数的单调递增区间为和.

综上所述，当时，函数单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为和；

当时，函数的单调递增区间为和.

（2）因为，，使得，

且在区间上为单调函数，

故可知在上单调递增，即对称轴，且，

即，从而可知有两个非正根，

解方程可得，，即，

解得.