Question

已知定义域为的函数，是奇函数.

（1）求，的值，并用定义证明其单调性；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1），，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据奇函数的必要条件得出，求出，，再验证 为奇函数；将分离常数化为，按照单调函数定义，证明在为减函数；

（2）由是奇函数化为，结合在上是单调递减，不等式等价转化为，对一切恒成立，根据二次函数图像，可得，求解，即可得出结论.

（1）因为是奇函数，所以，即，

∴，又由知，

所以，，经检验，时，是奇函数，

，

则，且，则

∵，∴，∴，

∴在上是单调递减；

（2）因为是奇函数，

所以等价于

，

因为为减函数，由上式可得：，

即对一切有：，

从而判别式，

所以的取值范围是.