Question

已知函数是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；

（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；（2）因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.

（1）因为是上的偶函数，

所以，即

解得，经检验：当时，满足题意.

（2）因为，所以

因为时，存在零点，

即关于的方程有解，

令，则

因为，所以，所以，

所以，实数的取值范围是.

（3）因为函数与的图像只有一个公共点，

所以关于的方程有且只有一个解，

所以

令，得 （*），记，

①当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去；

②当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；

③当时，且时，解得，

方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意.

综上，的取值范围是.