Question

设函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）.

（2）或a.

【解析】

试题（1）本问考查导数几何意义，当时，，则，又，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”，根据二次函数易求在上的最大值，求在上最大值时，需要分区间对的根进行讨论，通过单调性求出在上最大值，进而解不等式求的取值范围.

试题解析：(1)当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.

(2)“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”.因为，所以在上的最大值为.

,令，得或.

①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值大为，由，得；

②当，即时，当时，为单调递减函数，当时，为单调递增函数，所以的最大值大为或.由，得；由，得，又因为，所以；

③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，所以的最大值大为，由，得，又因为，所以，

综上所述，实数的取值范围是或.