Question

对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据定义直接进行计算即可

（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明

（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论．

（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．

（2）令．不妨设．

充分性：设是公差为的等差数列．

则

且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．

必要性：若d（S（A））=2n-1．

因为．

所以S（A）中有2n-1个不同的元素：

任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等．

又，且．

所以，所以是等差数列，且公差不为0．

（3）首先证明：1∈A．假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S（A），

因此1∉T（A），1∉S（T（A）），故1∉T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A））矛盾，因此1∈A．

设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=．

若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20，

而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．

假设A有三个元素，设，且，

则1，2，，，

从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5∉T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．

集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7，

（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．

此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．

（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A）），

若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26，

解得=5或=2．

当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．

当A={1，2，8}时，

T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．

故元素个数最少的集合A为{1，5，8}