Question

已知点，（为正整数）都在函数的图象上.

（1）若数列是等差数列，证明：数列是等比数列；

（2）设，过点的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数，使对一切正整数恒成立；

（3）对（2）中的数列，对每个正整数，在与之间插入个3，得到一个新的数列，设是数列的前项和，试探究2016是否是数列中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明.

Answer

（1）证明过程见详解；（2）；（3）2016不是数列中的某一项.

【解析】

（1）先设等差数列的公差为，由题意得，根据等比数列的定义进行判断即可；

（2）先由，则，求出，得出直线的方程为：，求出其与轴，轴的交点坐标，表示出，判断单调性，即可得出结果；

（3）先由，得到数列中，从第一项开始到为止，（含项）的所有项的和，求出时，其和是， 时，其和是，结合题中条件，即可判断出结果.

（1）设等差数列的公差为，由已知得，

所以为非零常数，

所以数列是等比数列；

（2）若，则，所以，

所以，

因此直线的方程为：，

所以它与轴，轴分别交于，，

因此，

所以在上恒成立；

因此，数列是单调递减数列；所以；

又对一切正整数恒成立，所以；

即实数的最小值为；

（3）2016不是数列中的某一项，证明如下：

因为，所以数列中，从第一项开始到为止，（含项）的所有项的和是：

，

当时，其和是，

而当时，其和是

因为不是的倍数，

因此2016不是数列中的某一项.