Question

已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，并求出导数，分别解不等式和，可得出函数的单调递增区间和单调递减区间；

（2）由得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.

（1）当时，，定义域为，且，

若，则；若，则，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）若恒成立，则恒成立，

，所以分离变量得恒成立，

设，其中，则，所以，

当时，；当时，.

即函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取最大值，即，所以.

因此，实数的取值范围是.