Question

如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X—函数”.

（1）分别判断下列函数：①y=；②y=x+1；③y=x²+2x-3是否为“X—函数”？（直接写出结论）

（2）若函数f（x）=x-x²+a是“X—函数”，求实数a的取值范围；

（3）设“X—函数”f（x）=在R上单调递增，求所有可能的集合A与B.

Answer

（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）

【解析】

（1）直接利用信息判断结果；
（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；
（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.

（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；

（2）∵f（-x）=-x-x2+a，

-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，

∴f（-x）=-f（x）无实数解，

即x2+a=0无实数解，

∴a＞0，

∴a的取值范围为（0，+∞）；

（3）对任意的x≠0，

若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；

若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；

∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，

∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，

假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；

∴0∈A，

经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.