Question

（1）已知点为圆上的一个动点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；

（2）若直线截得由（1）所得曲线的弦长为，求的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设点，点，根据中点坐标公式得出，由点在圆上即可得出点的轨迹方程；

（2）由题意知，直线过圆的圆心，可得出，即，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

（1）设点，点，

由于点为线段的中点，则，解得，

点在圆上，所以，则，

因此，点的轨迹方程为；

（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，以为半径的圆，其直径长为，

由于直线截曲线所得弦长为，

则直线过圆的圆心，即，可得，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.