Question

如图，四棱锥中，底面，，，为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）由平面以及为的中点，可知三棱锥的高为，计算出三棱锥和三棱锥的体积，利用三棱锥和三棱锥的体积之差可得出三棱锥的体积.

（1）取的中点，连接、，

、分别为、的中点，且，

又且，且，四边形是平行四边形，

，又平面，平面，平面；

（2），，，

所以，的面积为，

平面，且，

所以，三棱锥的体积为，

为的中点，则三棱锥的高为，

所以，三棱锥的体积为.

因此，三棱锥的体积为.