Question

已知圆与直线相交于、两点，为原点，若.

（1）求实数的值；

（2）求的面积.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由圆的一般方程可求出，并设、，将直线的方程与圆的方程联立，消去，计算，可得出，列出韦达定理，将转化为，代入韦达定理，化简计算可得出的值；

（2）利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高，然后利用三角形的面积公式即可得出的面积.

（1）方程表示的曲线为圆，则，得.

设点、，联立，

消去得，则，解得.

由韦达定理得，.

若直线、的斜率都存在，由，可知两直线的斜率之积为，

化简得；

若直线、分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，轴，则，，

满足.

由，解得，合乎题意.

因此，；

（2）由（1）可得，.

由弦长公式得，

的高为，

因此，的面积为.