Question

有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.

Answer

不正确，理由见解析

【解析】

当零点不是“变号零点”时，无法用零点存在定理来确定，由此可知原解法有错误；当时，函数为一次函数，解得零点后可知满足题意；当时，函数为二次函数，分别在和两种情况下，求得恰有一个零点时的值，进而得到结果.

上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点”

正确解答如下：

（1）当时，

令得：，解得：

∴当时，在内恰有一个零点.

（2）当时，

①若，即，则函数的图象与轴交于点

是内的唯一零点

②若，即

则i.，解得：

ii.当，即时，，解得：，

是内的唯一零点

iii.当时，即时，，解得：，

是内的唯一零点

综上可得，的取值范围是