Question

已知函数,其中常数.

(1)当时,的最小值;

(2)讨论函数的奇偶性,并说明理由;

(3)当时,是否存在实数,使得不等式对任意恒成立?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,请说明理由.

Answer

(1)2(2)见解析(3)存在,

【解析】

(1)直接利用不等式的基本性质求最值;

(2)利用及求得值,从而得到函数为奇函数或偶函数的的取值;

(3)由原函数可得当时,函数在上是减函数,利用单调性直接转化为恒成立,分离参数求解即可得到值.

(1)当时,,

当且仅当,即时取等号;

(2)的定义域为,,

,

由,得,即,

∴,即;

由,得,即,

∴,即.

∴当时,函数为偶函数;当时,函数为奇函数;

当且时,为非奇非偶函数;

(3)当时,,.

当时,,

由复合函数的单调性知,在上是减函数,

要使,只要,

即①

设,则函数在上的最大值为2.

要使①式恒成立,必须,即或.

∴在区间上存在,使得原不等式对任意的恒成立.